ウェブメールで送受信したメールをダウンロードすることはできますか？

できます。

操作方法は、まず、[ウェブメール]の画面で対象のメールをチェックします。
※この際、チェックボックスの一番上をチェックすると、表示されているメール全件が選択されます。
次に、右クリックから[ダウンロード]を押します。
最後に、確認画面の[ダウンロード]をクリックするとダウンロードできます。

※ファイルは1メール/1ファイルでeml形式となり、zipに圧縮された状態でダウンロードされます。
※メールのダウンロード機能を利用するには、管理者にてダウンロード許可の設定が必要です。

関連情報はこちら。
ウェブメールで、メールのダウンロードを許可する設定方法を教えてください。

①

②

③